Lösung
Vorüberlegung: Wie bestimmt man die kürzeste Entfernung zweier Punkte A und B auf einer Kugeloberfläche?
Betrachte etwa auf der folgenden Abbildung den Punkt A in Nord-Norwegen und den Punkt B irgendwo in Alaska, auf
demselben Breitengrad wie A, aber um 180 Längengrade von A entfernt.
Dreidimensional betrachtet wäre die Lösung sehr einfach:
Man bohrt einfach ein entsprechendes, geradliniges Loch durch die Erde von A nach B und hätte damit den Abstand von A nach B.
Diese kürzeste Strecke würde allerdings nicht auf der Erdoberfläche verlaufen.
Wie erhält man nun die kürzeste Entfernung für Strecken, die sich komplett auf der Kugeloberfläche befinden?
Eine mögliche, experimentelle Lösung wäre die Folgende: Man spannt auf einem Globus einen Gummifaden zwischen den beiden Punkten A und B.
Wie man an obiger Grafik erkennen kann, wird sich dieses Gummiband ganz sicherlich nicht entlang des Breitengrades von A und B legen, sondern eher etwa über den Nordpol.
Dieses Gummiband verläuft dann entlang eines sogenannten Großkreises. Großkreise auf einer Kugel sind Kreise, deren Mittelpunkt der Kugelmittelpunkt (hier also der Erdmittelpunkt) ist.
In diesem Beispiel lagen die beiden Punkte A und B auf einem relativ hohen Breitengrad und auf um 180° verschiedenen Längengraden. Dies machte den Sachverhalt allerdings nur möglichst anschaulich.
Je höher der Breitengrad ist, desto anschaulicher wird der Sachverhalt.
Folgender Satz sollte jetzt aber nicht nur anschaulich klar sein, man kann ihn sogar mathematisch beweisen (den Beweis wollen wir uns hier ersparen):
Die kürzeste Entfernung zwischen zwei beliebigen Punkten A und B auf einer Kugeloberfläche verläuft über einen Großkreis.
Nehmen wir einmal an, das nach Osten fliegende Flugzeug startet nicht in Frankfurt, sondern nur wenige km südlich des Nordpols und zwar mit genau 100km/h.
Eventuell umkreist es sogar in einer Stunde mehrmals den Nordpol. Jedenfalls ist es nach einer Stunde mit Sicherheit weniger als 100km von seinem Startort entfernt.
Das gleiche gilt natürlich auch (nur weniger deutlich), wenn das Flugzeug von Frankfurt aus nach Osten startet.
Nur wenn sich das Flugzeug auf einem sog. Großkreis bewegt (das sind Kreise, deren Mittelpunkt hier der Erdmittelpunkt ist), würde es nach einer Stunde auch exakt 100km vom Startpunkt entfernt sein.
Wenn ein Flugzeug von Frankfurt aus nach Osten fliegt, so bewegt es sich nicht auf einem Großkreis.
Wenn ein Flugzeug von Frankfurt aus nach Norden fliegt, so bewegt es sich auf einem Großkreis.
Lösung: Das nach Norden fliegende Flugzeug ist nach einer Stunde weiter von Frankfurt entfernt.
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